数学基础

矢量运算：点积、叉积等

矩阵运算：转置、逆等

齐次坐标

几何变换

窗口区到视图区的坐标变换

实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体，必须将其从窗口区变换到视图区。

窗口和视区

二维图形的几何变换

二维齐次坐标变换的矩阵形式：

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right] \\ 其中\left[\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right]可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切变换；\left[\begin{array}{c}c\\ f\end{array}\right]对图形进行平移变换； \\ [gh]是对图形进行投影变换；[i]是对图形进行整体缩放变换 \end{gathered}$$

示意图

示意图

复合变换

如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换

三维图形的几何变换

类似二维图形，三维齐次坐标变换的矩阵形式：

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right] \\ 其中\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切变换；\left[\begin{array}{c}{a}_{14}\\ a_{24}\\ a_{34}\end{array}\right]对图形进行平移变换； \\ [a_{41}{a}_{42}{a}_{43}]是对图形进行投影变换；[a_{44}]是对图形进行整体缩放变换 \end{gathered}$$

投影变换

投影是把三维物体变为二维图形表示的过程，主要分为平行投影和透视投影。在此之前先了解坐标系的概念。

坐标系

物体在空间的表示是用世界坐标来表示，但是当人们去观察物体时，坐标系就转化为观察坐标系。这就需要在两个坐标系之间进行转换，可以通过平移、旋转实现从世界坐标到观察坐标的变换。

平行投影

正平行投影（三视图）

以下分别是正视图、俯视图和侧视图

变换矩阵

斜平行投影

投影方向不垂直于投影平面的平行投影

如下：

示意图

变换矩阵

透视投影

透视投影的视线(投影线)是从视点(观察点)出发，视线是不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。

示意图

一点透视投影变换矩阵如下（推导过程略）：

一点透视